아리스토텔레스 표준논리와 비표준 논리

논증을 구성하는 명제/진술 등의 내용에 관심을 두는 것이 아니라 그 형식에 초점을 두어 연구하는 학문입니다. 추상적인 형식에 초점을 기울이니만큼 현대에는 당연히 수학적 기법과 기호 등을 도구로 삼아 이루어집니다. 실질적으로 학계에서 "논리학"이라고 할 때에는 형식 논리학을 가리킨다고 볼 수 있습니다. 형식 논리학에서 쓰는 논리식은 일상에서 쓰는 말을 추상화시킨 것이지만, 일상 언어 표현과 형식 논리 정식 간에는 의미상의 괴리가 있을 수 있습니다. 예를 들어 표준 논리의 논리식인 실질 조건문 p → q, p→q는 자칫 한국어 문장 "만약 p이면 q이다" 혹은 영어 문장 "If P, then Q"와 의미가 똑같은 것으로 오해하기 쉽지만 그 의미상 다를 수 있습니다. 오히려 논리학에서 '만약 p이면 q이다'를 p Ɔ q로 쓰는 경향이 있습니다.

표준 논리 Standard logic. 동일률(ϕ→ϕ), 무모순율(¬(ϕ∧¬ϕ)), 배중률(ϕ∨¬ϕ) 등을 비롯한 전통적인 논리적 법칙들 혹은 공리들을 받아 들이는, 말 그대로 표준적인 논리체계. "고전 논리(Classical Logic)"이라고도 불립니다. 아리스토텔레스의 삼단논법 및 고틀로프 프레게의 수리 논리학이 모두 표준 논리에 해당합니다. 철학과의 전공과목이나 수학과의 수리논리에서 명제논리와 1차 술어 논리를 시작으로 기본적으로 배우게 되는 논리 체계입니다. 이 과정에서 일상언어(혹은 수학의 언어)의 형식언어로의 번역, 형식 논리학의 추론규칙, 의미이론 등을 배우게 됩니다. 

비표준 논리 Non-standard logic. 표준 논리에 (i) 새로운 공리/추론규칙을 추가하거나 (ii) 표준 논리의 공리/추론규칙 대신 다른 공리/규칙을 채택한 언어 및 논리체계를 통틀어 이르는 말입니다. 즉 비표준 논리에서 채택되는 형식언어들은 표준적인 형식언어들과는 다른 의미체계를 갖습니다. 그중 유명한 예시들을 들자면 다음과 같다습니다. 다치 논리(many-valued logic): 명제/문장이 참(T)과 거짓(F) 말고도 다른 진리치를 가질 수 있는 논리 체계. 즉 이가원리 principle of bivalence)를 받아 들이지 않는 체계입니다. 대표적으로 3가지 진리치를 인정하는 3가 논리(혹은 3진 논리)가 있습니다.

퍼지 논리(fuzzy logic): 진리치가 참과 거짓만이 아니라 연속 폐구간 [0,1] 가운데 어느 한 실수이면 되는 논리체계. 즉 참과 거짓으로 딱 나뉘어 떨어지지 않는 경우를 설명하기에 적합니다. 직관주의 논리(intuitionistic logic): 어떤 명제가 그 증명과 독립적으로 참이거나 거짓이라는 전제를 거부하는 입장입니다. 즉 배중률을 거부하며, 그 때문에 표준 논리의 일부 추론규칙들을 받아들이지 않습니다. 또한 참 개념 대신 증명가능 개념을 쓰기 때문에, 임의의 명제 ϕ 의 참은 'ϕ은 증명이 가능함', 거짓은 'ϕ의 증명이 가능하면 모순도 증명이 가능함'으로 대체됩니다. 따라서 직관주의 논리를 처음 접하는 사람들이 오해하는 것과는 달리 직관주의 논리가 다치논리의 일종인 것은 아닙니다.

양상 논리(modal logic): "필연적이다", "가능하다" 같은 표현을 다루기 위해 표준 논리학에 양상연산자(modal operator)를 도입하여 만들어진 논리 체계. 시제를 다루기 위한 '시제 논리', 의무를 도입하기 위한 '당위 논리' 등 역시 양상 논리에 포함됩니다. 철학적 논리학(philosophical logic)이란 표준/비표준 논리를 막론하고 철학의 여러 분야에서 유용하게 쓰이는 논리 체계들 및 그에 관한 논리철학적 연구를 포괄적으로 일컫는 말입니다. 예컨대 양상 논리는 타 분야보다도 철학에서 특히 많은 관심을 갖는 논리체계이며, 부사구 수식이나 사건 존재론 등에서 나타나는 논리적 문제를 다루기 위해서 고안된 논리체계 또한 있습니다.(가령 의도를 연산자로 도입하는 체계가 있습니다.)

메타 논리 Metalogic. 메타논리학이란 논리체계에 대해서 성립하는 속성들을 탐구하는 논리학의 중요한 영역입니다. 쿠르트 괴델의 불완전성 정리 이후 본격적으로 발전하기 시작했습니다. 잘 알려진 괴델의 불완전성 증명 역시 이들 연구에 빚짐과 동시에 큰 영향을 끼쳤습니다. 뿐만 아니라, 메타논리의 성과는 전산학이나 컴퓨터과학의 발전에도 큰 영향을 주었습니다. 대표적인 메타논리적 속성으로 완전성(completeness), 건전성(soundness), 조밀성(compactness) 등의 속성이 있다. 메타논리학의 연구영역으로 크게 4가지 영역이 있습니다.

계산가능성 이론(회귀함수 이론) 어떤 것이 기계적으로 계산 가능한지 혹은 결정가능한지에 대해서 탐구하는 분야입니다. 잘 알려진 튜링머신에 관련된 논의가 이루어지는 영역입니다. 어떤 체계에서 주어진 문제가 튜링머신을 통해서 해결가능한지의 문제나 어떤 해결방법이 튜링머신의 해결방법과 동등한지 등의 문제들을 다룹니다. 결정가능성(decidability)역시 큰 주제중 하나입니다.(결정가능성이란 어떤 체계에서 주어진 문장이 그 체계의 정리인지 아닌지를 결정하는 기계적 절차가 존재하는가에 관한 문제)

모형 이론 어떤 체계의 언어표현의 의미에 대해서 다루는 분야입니다. 주로 1차언어의 표현의 의미와 그 구조에 대해서 탐구하는 분야이다. 주로 귀결개념과 관련된 문제들을 다룹니다. 증명 이론 모형이론이 언어표현의 의미에 대해서 다룬다면 증명이론은 언어표현 자체에 대해서 다루는 구문론적 영역입니다. 주로 증명의 구조에 대한 탐구가 이루어집니다. 집합론 특정 조건에 맞는 원소들의 모임. 임의의 한 원소가 그 모임에 속하는지를 알 수 있고, 그 모임에 속하는 임의의 두 원소가 다른가 같은가를 구별할 수 있는 명확한 표준이 있는 것을 이릅니다. 수학적인 의미로 집합을 정의한다는 건 굉장히 어려운 일이다. 때문에 수리논리 외의 분야에선 직관적으로 받아들이고 시작하는 용어(무정의용어) 중 하나. 무언가를 정의하기 위해서는 이미 정의되어 있는 개념이거나 정의하지 않고 사용하는 개념인 것이 미리 있어야 하는데, 수학에서 그러한 '바탕'으로 대표적으로 이용되는 것이 집합입니다. 이런 맥락에서 현대 수학의 거의 모든 분야는 집합이란 개념을 통하여 발전하였습니다. 이 때문에 집합이란 개념의 이용은 현대 수학을 이해하는 데 가장 기초적으로 필요한 소양입니다. 과거 중고등학교 수학의 첫 단원이 집합이었던 것도 이러한 맥락에서입니다. 

그런데 이런 집합이라는 개념을 수학적으로 엄밀하게 구성하는것은 생각보다 쉽지 않습니다. 국립국어원의 설명은 직관적 집합론(naive set theory)에서 받아들이는 개념에 가깝습니다. 수리논리에서도 공리적 집합론에서도 집합이 무엇인지 정의하지는 않는 경우가 많습니다. 먼저, 공리적 집합론에서 대표적으로 채택하는 공리계인 ZFC(선택 공리를 추가한 체르멜로-프랭켈 공리계)에서는 집합론에서 사용되는 모든 오브젝트가 집합이고, 공리들은 ∈ 에 관한 공리들입니다. 또한 정칙성 공리 등을 통해 집합이 조건을 공리적으로 제한한다. 한편 NBG(폰 노이만-베르나이스-괴델 공리계)나 MK(모스-켈리 공리계)라는 공리계에서는 집합을 '다른 class(주로 '모임'이라고 번역된다)의 원소인 것'으로 일단 정의하기는 하고 class는 위에서 말한 직관적 집합론에서의 개념과 좀 비슷합니다. NBG나 MK가 아니더라도 여러 가지 공리계들 또는 공리들의 관계를 탐구할 때 그 도구로써 '이러이러한 것만 집합이라고 새로 가정하면 어떤 일이 일어나는가'를 살펴보기도 합니다. 왜 이런 복잡한 방식을 거치는가 하면, 집합 개념을 단순히 직관적으로 '어떤 성질을 만족시키는 것들의 모임'이라고만 해버리면 러셀의 역설과 같은 여러 가지 역설이 생겨 수학 구조가 붕괴되기 때문입니다.   

칸토어 이후의 수학은 기본적으로 집합론을 기초로 하여 성립돼 있습니다. 당장 수학의 가장 기초 공리계인 ZFC부터가 집합을 이야기하는 공리계이고(이는 NBG, MK등 다른 공리계도 마찬가지) 그 외에 자연수등 모든 수학적 대상이 집합의 언어로 서술되기 때문입니다. 대수, 해석, 위상 등등의 모든 이론을 시작할 때 집합이 들어가는 것은 이러한 이유. 연속, 수렴, 이항연산, 컴팩트, 심지어 무한 등 수많은 개념들이 집합을 통하면 수학적으로 엄밀하게 정의하고 조작할 수 있게 됩니다. 고등학교에서 배우는 직관적 집합론이 아니라 위에 서술한, 수학적으로 엄밀하게 정의된 집합을 더욱 심도 깊게 다루는 것이 (공리적) 집합론으로, 수학과 학부 또는 대학원 과정에서 배울 수 있습니다. 영미권의 대학에서는 철학과의 전공 과목으로 개설되는 경우도 있습니다.