원소: 집합을 구성하는 객체. 집합과 마찬가지로 직관적으로 받아들이고 시작하는 개념 중 하나입니다. 좀 더 엄밀하게 말하자면 정의하지 않고 받아들이는 개념. 무정의 용어라고도 합니다. 집합은 주로 대문자, 원소는 주로 소문자로 표기하나, 현대수학은 모든 대상은 집합의 일종이라 보는 경우가 많기에 맥락에 맞게 이해하여야 합니다. 'aa는 집합 AA의 원소이다.'는 a∈A로 표시합니다. 원소 나열법: 집합을 중괄호와 원소를 이용하여 서술하는 방법입니다. '집합 AA는 2, 3, 4를 원소로 가지고 있습니다.'를 A={2, 3, 4}로 표시한다. 집합에 어떤 원소가 있나 금방 볼 수 있지만 집합의 특성을 설명하거나 무한집합을 다룰 때 취약합니다. 조건 제시법: 집합을 집합에 포함되는 원소의 조건을 이용하여 서술하는 방법입니다. {원소|원소의 특성}으로 사용한다. {2, 3, 4}{2,3,4}를 조건 제시법으로 표시하면.{n∣n은 1보다 크고 4 이하인 자연수.}}, {n∈N∣N은 자연수의 집합.} {2, 4}2≤n≤4} 등이 된다. 무한집합을 다룰 수 있으나 특정 객체가 집합의 원소인지 확인하는 건 어렵습니다. 가령 '무리수의 집합'이란 개념은 쉽지만, e^π 가 무리수인지(=무리수의 집합의 원소인지 아닌지)를 판단하는 건 원소나열법과는 달리 어렵습니다.
공집합: 원소가 없는 집합. 공집합 역시 직관적으로 받아들이고 시작하는 개념 중 하나. 공리적 집합론에선 공리를 통해 공집합의 존재성을 보일 수 있습니다. 또는 아예 처음부터 공집합이 존재한다는 공리(존재 공리, axiom of existence)를 깔기도 합니다. 집합론의 추상성을 처음 느낄 수 있는 개념입니다. 공집합을 나타내는 고유의 기호 ∅는 ϕ와 아주 비슷하게 생긴 기호인데, 엄격하지 않은 책에서는 편의상 그리스 문자 ϕ(phi)로 나타내기도 합니다. 한때 중고등학교 교과서 등에서도 그리스 문자로 나타내었기에 제대로 알고 있지 않은 경우가 많습니다.
벤 다이어그램: 집합은 원이나 타원 등의 단일폐곡선으로, 원소는 점으로 나타내 집합간의 간단한 관계를 표현하는 다이어그램. 2차원 공간에 단순도식화하여 표시하는 것이므로 아무래도 복잡한 집합 관계는 표현하기 힘듭니다. 또한, 벤 다이어그램은 증명에 사용될 수 없습니다! 증명을 제대로 배우지 못한 학생들에게 집합 증명문제를 주면 벤 다이어그램을 그려오는 학생들이 상당히 많은데, 그 증명을 보는 사람에게 직관적인 이해를 돕기 위해 사용할 수는 있어도, 증명으로서의 가치는 없습니다. 명심하자. 부분집합: 한 집합의 원소들로만 구성한 집합. 공집합은 모든 집합의 부분집합이며, 모든 집합은 자기 자신의 부분집합입니다. 'AA는 BB의 부분집합입니다.'는 A⊂B 또는 A⊆B 로 표현합니다. 부분집합이되 원래 집합과 같지 않음을 강조하게 위해서는 진부분집합이라고 부르기도 하며 A ⊊ B 로 나타냅니다.
상등: 서로 같은 집합을 말한다. 'A가 B의 부분집합이면서 동시에 B가 A의 부분집합인 경우', 즉, A⊂B 이면서 B⊂A 도 성립하는 경우 등호를 써서 A=B로 나타냅니다. 예를 들어, 집합 A를 '2의 배수인 자연수'로 정의하고 집합 B를 '짝수인 자연수'로 정의하면 A와 B는 둘 다 {2, 4, 6, 8, 10,…} 이렇게 똑같이 가므로 이때 A와 B는 상등이 성립합니다. 앞서 말한 '진부분집합'이 '부분집합이지만 상등은 성립하지 않는 집합'을 말하는 것입니다. 차집합: 두 집합 사이의 겹치는 원소를 제외하는 연산. 'A 차집합 B'는 A-B 또는 A\B라 쓴다. 조건제시법으론 A−B={a∣a∈A∧a∈/B}.
여집합: 전체집합 UU가 먼저 결정되어 있을 때, 해당 집합의 원소를 제외한 나머지를 모은 집합. 일반적으론 A^{c}Ac로 표기하지만 어디에서 여집합을 하는 것인지 명확히 하기 위해 전체집합에서 A를 차집합한다는 의미로 U\A로 쓰는 경우가 더 많습니다. 예를 들자면 무리수 집합을 나타내는 ℚ^c 의 경우, 전체 집합을 암묵적으로 실수로 보는 경우입니다. 복소수를 전체집합으로 본다면 ℚ^{c}c 는 무리수가 아닐 수 있기 때문에 명확하게 표현하기 위해 차집합을 \로 쓰는 것. 교집합: 여러 집합의 공통 원소를 모은 집합. 'A와 B의 교집합'은 A∩B={a∣a∈A 그리고 a∈B}라 씁니다.
합집합: 여러 집합의 원소를 모두 모은 집합. 'A와 B의 합집합'은 A∪B={a∣a∈A 또는 a∈B}라 씁니다. 교집합과 합집합을 두 개의 집합이 아닌 여러 개의 집합에 대하여 행할 때는 합 기호(Σ)를 사용할 때처럼 인덱스를 씁니다. 분리합집합: 합집합만으로는 원래 집합의 정보를 잃어버리는 데 반해서, 원래 집합의 정보를 남겨놓은 채로 원소를 모으는 방식. 기호는 분리합기호(⊔)를 씁니다. 역시 여러 집합에 대할 때는 인덱스를 사용합니다. 원래 집합의 정보는 원소 아래에 인덱스를 첨자로 붙이는 것으로 구분합니다. 예를 들어서 A={1,2}, B={2,3}, C={0,1,3}A={1,2},B={2,3},C={0,1,3}이 있다고 하면, A⊔B=1_{a}, 2_{a}, 2_{b}, 3_{b}}, B⊔C={1_{a}, 2_{a}, 2_{b}, 3_{b}, 0_{c}, 1_{c}, 3_{c}}A⊔B={1a,2a,2b,3b},A⊔B⊔C={1a,2a,2b,3b,0c,1c,3c} 같은 형식입니다.
곱집합: 여러 집합의 각 원소들로 이루어진 순서쌍의 집합. 두 개의 집합 A, BA,B가 있을 때, 'A와 B의 곱집합'은 A×B={(a,b)∣a∈A 그리고 b∈B}로 쓰입니다. 예를 들어, A={1, 3, 5, 7, 9}A={1,3,5,7,9} 이고 B={0, 2, 4, 6, 8}B={0,2,4,6,8}이라면 A×B={(1,0),(1,2),(1,4),⋯,(9,6),(9,8)}이다. 또, A^n로 표시하면 A끼리 n번 곱했다는 의미이며, 이를 이용해 좌표계를 ℝ^n 으로 정의하곤 합니다. 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않습니다. 행렬이나 벡터와 깊은 연관성이 있어 선형대수학 이상의 수학에서 어마어마하게 쓰이는 개념입니다. 곱집합이라고도 하지만, 데카르트 곱(Cartesian Product)이라고도 부릅니다. 단, 곱하는 집합중에 공집합이 존재할 경우, 그 결과물은 공집합이 됩니다.
멱집합: 어떤 집합의 모든 부분집합을 모은 집합. 'A의 멱집합'은 멱집합의 영어 표기인 Power set에서 P를 따와P(A)로, 혹은 2^A로 표현합니다 . 예를 들어 P({1,2,3})={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.추가로 어떤 집합의 멱집합은 그 집합에 대해 위상을 이루는데, 이 위상을 이산위상이라 하고 A에 대한 이산위상을 (A,D)로 나타냅니다. 이산위상의 모든 원소는 개집합이면서 동시에 폐집합입니다. 현대 집합론에서 멱집합이 존재한다는 것은 공리로 받아들입니다. 동시에 어떤 집합의 멱집합은 항상 원래 집합보다 큽니다. 유한 집합이든 무한 집합이든 상관없이습니다.
전체집합: 러셀의 역설을 비롯한 여러 역설을 피하기 위해 집합론을 엄밀하게 전개하게 된 뒤로는 이러한 집합을 인정하지 않습니다. 대신 NBG나 MK에서는 모든 집합의 클래스는 존재합니다. 때로는 다루고자 하는 대상을 충분히 많이 포함하고 있는 집합이 존재한다 등과 같은 가정을 집합론에 추가해서 살펴보기도 합니다. 집합이 얼마나 많은 원소를 가지고 있는가, 어느 집합이 더 많이 원소를 가졌는가의 개념을 생각할 수 있습니다. 그 비교는 일반적으로 두 집합 사이에 일대일 대응(bijection)이 존재하는가, 그렇지 않다면 어느 집합에서 어느 집합으로 일대일 함수(injection)이 존재하는가 등을 통하여 이루어집니다. 두 집합 사이에 일대일 대응 함수(bijection)가 존재하면 두 집합의 크기가 같다고 정의합니다. 만약 비교 대상이 유한집합의 경우 간단히 원소를 하나씩 센 결과를 그 척도로 쓰면 편리할 것입니다. 따라서∣A∣ 혹은∥A∥, cardA로 유한집합 A의 원소의 수를 나타냅니다. 중고등학교 교육과정에서 사용하는 n(A)는 학부 이상의 수학에선 사용하지 않는 표기입니다.
무한집합에서도∣A∣의 개념을 만들 수 있는데, 이는 크기보다는 농도 또는 기수(cardinal)라고 불립니다. 표기법도 똑같이∣A∣,∥A∥,cardA인데, 유한집합에서는 하나씩 세는 과정, 즉 자연수 개념을 이용했다면 무한집합에서는 초한기수(cardinal number)라는 새로운 개념을 이용하여 정의합니다. 농도는 사실상 크기와 유사한 개념이라, 집합론이 아닌 맥락에서 집합의 농도를 이야기하는 다른 분야의 수학책에선 size라 간단히 말하기도 하며, 집합론 내에서도 농도 자체에 크기 개념을 적용한 Large cardinal 같은 용어도 있습니다. 소수의 집합, 자연수의 집합, 정수의 집합, 유리수의 집합은 모두 농도가 같지만, 실수의 집합은 이보다 농도가 큽니다. 그리고 실수의 집합과 복소수의 집합, 사원수의 집합의 농도는 같습니다. 이 신비한 사실이 성립하는 이유는 무한집합은 유한집합과 달리 자신과 자신의 진부분집합간에 1:1 대응이 존재할 수 있기 때문입니다. 데데킨트는 이부분에 착안하여 이것을 가지고 무한집합을 정의하기도 하였습니다. 이때문에 무한집합의 농도 비교는 비수학전공자가 가장 많이 헷갈리는 개념 중 하나입니. (넓은 의미로 보면 집합론도 논리학에 포함됩니다.)
고대 그리스의 논리적 사유는 엘레아 학파의 제논 및 프로타고라스, 고르기아스 등 소피스트 사상가들에게서 그 원류를 찾을 수 있으나, 그것이 일정한 학문으로 정립된 것은 아리스토텔레스에 이르러서 입니다. 어떤 연구자들은 아리스토텔레스는 순전히 무에서 유를 창조했다고 주장하나, 당장 밑에 참고도서로서 제시되어 있는 닐 부부의 논리학의 역사조차 플라톤에게 한 장 전체를 할애하고 있습니다. 즉 아리스토텔레스가 순전히 무에서 유를 창조했다고 주장하는 것에 대해 어떤 연구자들이 명확히 반대하고 있다는 것은 확실히 할 수 있습니다. 또한 논리학의 역사에서 말하길 고전 논리 전체를 아리스토텔레스가 완성했다고 종전에는 생각되었으나, 적극적인 논리학사 연구를 통해 열심히 살펴보니 아리스토텔레스 이후의 기여도 상당히 많이 있다고 합니다. 그래도 이런 연구들이 증명하는 것은 생각보다 아리스토텔레스의 공헌도가 조금 작았다는 거지, 아리스토텔레스가 체계 자체를 세우다시피 한 것은 사실이며 《명제론》, 《범주론》 등 함께 뭉쳐져 『오르가논』이라고 불리는 아리스토텔레스의 저작들에서 삼단논법을 비롯한 고전적인 연역논리의 대부분이 마련되었다. 아리스토텔레스의 논리학은 이후 스토아 학파 등에 의해 계승되었으며, 명제논리의 많은 부분이 스토아 학파 등 고대 후기의 논리학자들에 의해 발견되었습니다.
보에티우스 같은 철학자를 통해 이어진 논리학은 중세 유럽의 스콜라 철학에서 매우 중시되었고, 스코투스 등 유명한 스콜라 철학자 중 많은 이들은 논리학에서도 많은 업적을 남겼습니다. 고전적인 연역논증이 중세에 확립되었다고 볼 수 있습니다. "귀결(consequence)" 개념이 확립된 것이 그 대표적인 예시 중 하나입니다. 르네상스 이후 아리스토텔레스주의가 지성들 사이에서 의심을 받게 됨에 되었고, 곧 아리스토텔레스의 핵심적 유산인 논리학 또한 근대에 접어들면서 어느 정도 침체에 접어들었습니다. 다만 유의할만한 점으로는 그 반작용으로 베이컨 등에 의한 귀납논리의 중요성이 제시된 점을 들을 수 있습니다. 그리고 이러한 귀납논리의 전통은 밀까지 이어집니다. 예외적으로 라이프니츠는 수학에서 수 대신 대수(代數)를 사용하는 것처럼 논리학 역시 자연언어 대신 기호를 사용할 것을 주장하면서, 논리적 보편언어 및 논리적 연산법의 이념, 즉 기호논리학에 해당하는 발상을 구체적으로 제시했다는 점에서 특기할 만합니다.
이런 침체가 극적으로 해소되기 시작한 것은 드모르간 및 불그리고 퍼스 등이 (기호)논리학을 본격적으로 발전시키면서부터였습니다. 이러한 추세는 프레게 및 페아노, 데데킨트 등이 산수를 논리학으로 환원시키고자 하는 논리주의(logicism)를 발전시키면서 더욱 가속화되었습니다. 특히 프레게는 1차 술어 논리 체계를 구체적으로 고안함으로써 아리스토텔레스 이래 내려온 논리학을 근본적으로 탈바꿈해놓았습니다. 비록 프레게 자신이 <산술의 기초(Grundgesetze der Arithmetik)>에서 제시했던 기획은 러셀의 역설에 의해 좌초되었지만, 논리주의는 오히려 러셀과 화이트헤드에 <수학 원리(Principia Mathematica)>에 의해 계승되었습니다. 이에 반발한 브라우어의 직관주의, 힐베르트의 형식주의가 등장하는 등 수학 기초론 논의가 활활 타오름에 따라 논리학 또한 급격한 발전을 이루기 시작했다. 힐베르트의 23가지 문제 등은 20세기 초 논리학과 수학 기초론이 얼마나 각광받았는지 보여주는 좋은 증거입니다.
이런 논리학의 발전 가운데 가장 극적인 사건은 괴델이 불완전성 정리를 통해 산술 체계를 포함하는 논리체계가 무모순함과 동시에 완전할 수 없다는 것을 증명한 것이었습니다. 이는 논리주의와 형식주의를 끝내 좌초시켰으며, 동시에 논리학이 모형 이론, 증명 이론, 집합론 및 철학적 논리학 등 여러 하위 분야로 분화되어 현대적으로 발전하게끔 하는 계기를 제공하였다. 동양에서는 고대 중국의 제자백가 가운데 혜시, 등석, 공손룡 등 명가(名家) 사상가들 및 묵가(墨家)에서 논리학적 탐구가 발견됐습니다. 명가의 중심적 철학으로는 '명실론'과 '궤변술'을 들 수 있는데, 명실론은 '명'과 '실', 즉 언어가 실재를 가리킬 때의 모호성을 지적하며 이를 명확히 구분하고자 한 이론이었습니다. 궤변술은 역설(궤변)을 탐구한 것으로, 공손룡의 '백마비마'(白馬非馬)와 '견백동이'(堅白同異) 역설이 유명합니다. 이후 묵가의 일부 학파가 이러한 사상을 계승하여 형이상학적 탐구를 지속하였습니다.
궤변술을 보면, 백마비마설은 백마라는 말은 말이라는 개념에 흰색이라는 개념이 더해진 것이므로 "백마는 말이다"라는 명제는 성립할 수 없다는 주장인데, 이는 현대적으로 해석하자면 자연언어인 중국어에서 "A는 B이다"라는 말이 "A=B"라는 것과 "A⊂B"라는 개념 모두를 가리킬 수 있다는 것을 간과했을 때 어떤 오류가 발생할 수 있는지를 말해주는 것이라 볼 수 있습니다. 또한 돌의 단단하다는 성질과 하얗다는 성질은 동시에 인식되는 것이 아니라 이 두 특성은 동시에 존재할 수 없다고 주장한 '견백동이'설도 철학적인 의미가 큽니다. 또한 혜시의 "날아가고 있는 화살은 움직이는 것도, 멈춰있는 것도 아니다"라는 말이나 "한 척의 막대를 두고 이를 날마다 그 절반씩 잘라내면 무수한 시대가 지나도 다하지 않는다"는 구절 등 제논의 역설과 똑같은 역설도 등장합니다.
그러나 진시황의 중국 통일 이후 탄압을 받고 사라져갔고, 이후 중국 철학에선 논리 같은 추상적 개념보다 통치체제나 삶의 방향 등을 다루는 실질적이고 구체적인 철학만이 발전합니다. 이는 고대 중국의 찬란한 철학사가 이후 체계적 과학으로 이어지지 못한 이유로 지적됩니다. 인도에서는 웃드요따까라 등 니야야-바이셰쉬카 사상가들이 연역법과 유비 추리를 결합시킨 논리학을 정립했고, 디그나가, 샹까라스와민, 다르마끼르띠 등 불교 유식(唯識) 사상가들 역시 논리학에 관심을 두고 깊이 연구하기도 했습니다.
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